RALACIONES

RELACIONES

En la matemática, como en otras ciencias, constantemente se habla de diversas relaciones entre dos objetos: en geometría se trata de relaciones de congruencia y de semejanza; en álgebra, de relaciones de igualdad o desigualdad numérica; en teoría de conjuntos, de relaciones de pertenencia y de inclusión. Por esto, es necesario formular la noción general de relaciones entre objetos. Una manera de lograr esto es mediante una regla, fórmula o propiedad. Así, por ejemplo, consideremos el conjunto A de las materias que puede cursar un estudiante en un semestre, y el conjunto B formado por los créditos de las materias sin laboratorio, es decir:

A= {a, b, e, d, e} y B = { 4, 5, 6, 7}

Es claro que los elementos de A quedan asociados con los del conjunto B mediante la propiedad.

P(x, y) : "x tiene crédito y"

Es decir, una relación R consiste en todos los pares ordenados (x, y) A x B tales que x tiene crédito y. Esto es, si en un semestre determinado y para un cstutjrante cn particular queda establecido el siguiente esquema:

1. DEFINICION

Sean A y B dos conjuntos. Una relación R de A en B es cualquier subconjunto del producto cartesiano Ax B. Es decir:

R es una relación de A en B ↔ R C A x B.

Se dice que"x está relacionado con y por R" y se escribe x R y sí (x, y)ЄR.

Si (x, y) Є/ R, si puede escribir x R/ y, y se lee "x no está relacionado con y por R".

2. DOMINIO,IMAGEN,RELACIÓN INVERSA

Si R C(subconjunto) AxB es una relación de A en B. existen dos inrportantes coniuntos asociados a esta relación: dominio e imagen de R. A continuación se darán las definiciones de estos conjuntos y de la relación inversa.

2.1 DOMINIO DE R; El dominio de R. qLre se escribe D(R). es el conjunto de elementos en A que están relacionados con algirn elemento en B. En otras palabras. el D(R) es un subconjunto de A y es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares (x. y) Є R. Es decir

D(R):{xЄA/(x.y)ЄR}

2.2 IMAGEN DE R; El Imagen (rango o recorrido) de R. qLre se escribe I(R). es el conj'urto de elementos en B que son los segr-rndos elementos de los pares (x. y) Є R. esto es. todos los elementos en B que están relacionados con algirn elenlento en A. Es decir

I(R): {y Є B/(x.y) Є R}

2.3 RELACION INVERSA; La relación inversa (recíproca) de la relación R de A en B es la relación R-1(ere elevado a la menos 1) de B en A que se define como

3. COMPOSICIÓN DE RELACIONES

Sea R una relación de A en B, y S una relación de B en C. Es decir .

R c A x B y S c B x C

A partir de estas relaciones se puede definir una relación de A en C, llamada composición entre R y S, mediante

3.1 PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN DE RELACIONES Sean R, S y T relaciones entre ciertos conjuntos. La composición de relaciones admite las siguientes propiedades:

4. RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO

Sea R una relación de A en B. Si A y B son iguales, se dice que R c AxA es una relación definida en A. En adelante nos limitaremos a este caso.

4.1 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

Sea R una relación definida en A, es decir, RcA². Estas relaciones generalmente satisfacen ciertas propiedades que expondremos en esta sección.

4.1.1 RELACIONES REFLEXIVAS

Una relación R en un conjunto A se denomina reflexiva sí cada elemento x de A está relacionado consigo mismo. Es decir.

4.1.2 RELACIONES NO REFLEXIVAS

Se dice que una relación R en un conjunto A es no reflexiva si existe algún elemento de A que no está relacionado consigo mismo. Es decir.

4.1.3 RELACIONES ARREFLEXIVAS

Una relación R, definida en un conjunto A. es arreflexiva si ningún elemento de A está relacionado consigo mismo. Es decir.

4.1.4 RELACIONES SIMETRICAS

Una relación R en un conjunto A es simétrica si cualquiera que sea el par (x, y) que pertenece a la relación, entonces el par (y, x) también pertenece. Es decir.

4.1.5 RELACIONES NO SIMÉTRICAS

Una relación R, definida en un conjunto A, es no simétrica si existe algún par (x, y) en la relación, pero su transpuesta (y, x) no pertengce a ella. Es decir.

4.1.6 RELACIONES ASIMÉTRICAS

Se dice que una relación R en un conjunto A es asimétrica si un par (x, y) pertenece a la relación, entonces su transpuesta (y, x) no pertenece a ella. Es decir.

5.1.7 RELACIONES TRANSITIVAS

Una relación R, definida en un conjur'to A. es transitiva si, cualesquiera que sean los pares ordenados (x, y) y (y, z) que pertenecen a. la relación, entonces el par ordenado (x, z) también pertenece a ella. Es decir.

5.1.8 RELACIONES NO TRANSITIVAS

La relación R en un conjunto A se dice que es no transitiva si existen pares (x, y) y (y, z) que pertenecen a R pero el par (x, z) no pertenecen a ella. Es decir.

5.1.9 RELACIONES ATRANSITIVAS

Una relación R en un conjunto A se llama atransitiva si, cualesquiera que sean los pares (x, y) y (y, z) que pertenecen a la relación entoces el par (x, z) no pertenece a ella. Es decir,.

5.1.10 RELACIONES ANTISIMÉTRICAS

Dada una relación R en un conjunto A se denomina antisimétrica si todo par (x, y) y su transpuesta (y, x) pertenecen a la relación, entonces x es igual a y. Es decir.

5. RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Una relación binaria R, definida en un conjunto A, es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. Generalmente una relación de equivalencia se denota por "~"; pará indicar que x está relacionado con y (x R y) se escribe "x ~ y" y se lee "x es equivalente a y"

5.1 CLASES DE EQUIVALENCIA

Sea "~" una relación de equivalencia definida en un conjunto A=/ Φ y sea a Є A. La clase de equivalencia de a (que contiene a a) se define corno el conjunto de todos los x de A tales que sean equivalentes al a. Se denota esta clase de equivalencia por Ka,[a]o a .

Ka={xЄA/o~x}

5.2 CONTUNTO DE íNDICES

Sea A =/ Φ un conjunto dotado de una relación de cquivalcncia. Se denomina conjunto de índices a un conjunto formado por los representantes de cada clase de equivalencia. Es decir.

I={a Є A / Ka es una clase de equivalencia en A}

Así, en el ejemplo anterior el conjunto de índices es

I= {1,3,4}

5.3 CONJUNTO COCIENTE