LOGICA

INTRODUCCIÓN  A  LA  LÓGICA

La lógica es la disciplina que trata de los métodos, modos y formas del razonamiento humano. Ofrece reglas  técnicas para determinar si un argumento es valido o no. Una de las metas fundamentales de la lógica es eliminar las ambigüedades del lenguaje ordinario. Introduciendo símbolos y conectivos lógicos en la construcción de preposiciones.

Dado que las proposiciones son la base del razonamiento logico, que consiste en decidir la validez de una idea en base a enunciados que previamente fueron aceptados.

1.     PROPOSICIONES

        

Las siguientes oraciones son consideradas proposiciones 

                  - Está lloviendo

                  - Mañana será miércoles

                  - La Tierra es redonda

                  - 3 es mayor que 5

En las 4 oraciones puedo decir que es una declarativa, puedo decir que es verdadero o falso.

Las siguientes oraciones no son consideradas proposiciones

                 - No hables en clase

                      - ¿Qué día es hoy?

                      - Uf! ¡Qué calor!

                       -No sé si vendrán al viaje

Estas oraciones no son consideras proposiciones, ya que no podemos decir que sean falsas o verdades.

Para tener mas en claro el tema, lee la definicion que esta debajo.

1.1   DEFINICIÓN

Una proposición es toda oración o enunciado respecto de la cual se puede decir si es verdadera o falsa, pero no ambas ala vez. Es decir, toda proposición está asociada a un valor de verdad, la cual puede ser verdadera o bien falsa. Así, si una proposición es verdadera. se dice que su valor de verdad es V y si es falsa, se dice que su valor de verdad es F.

Ejemplo: 

                       El valor de verdad de las siguientes proposiciones es: 

                         "El símbolo del agua es H2O"                                    V

                         "2 es múltiplo de 3"                                                     F

                         "2 es un número primo"                                              V

1.2    NOTACIONES Y CONECTIVOS LÓGICOS

A las proposiciones simples o genéricas se acostumbran a denotar con las letras minúsculas p, g, r,.... Así, por ejemplo:

                                           p : "21 es divisible por 7". 

                                            q  :"3²-1-2³" 

                                             r  : "El hombre es el arquitecto de su propio destino"

A partir de proposiciones simples se pueden generar otras proposiciones simples o compuestas utilizando ciertas constantes proposicionales llamados conectivos lógicos, tales como:

" ~ " Este conectivo significa " no " Ejm: "~P " no P

"→" Este conectivo significa "si... entonces"

Ejm: si P entoces Q

" Λ "Es como una v pero alreves. Y significa "Y"

Ejm: P y Q 

"  v " se parece a la v, pero no es la v. Y significa "o"

Ejm: P o Q

                                                                                   "↔" Este conectivo significa "si y solo si"

                                                                                    Ejm: P si y solo si Q

2.   OPERACIONES PROPOSICIONALES

Dada una o dos proposiciones. cuyos valores de verdad se conocen. Las operaciones entre proposiciones tratan de generar otras proposiciones y caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. 

Estas son: La negación. conjunción, disyunción. implicación, doble irnplicación y la disvunción exclusiva.

3.    FÓRMULAS PROPOSICIONALES

Una fórmula proposicional es una combinación de proposiciones y conectivos lógicos que simboliza a una proposición compuesta o molecular. Por ejemplo, las siguientes son fórmulas proposicionales

Ejemplo: 

Simbolizar la siguiente proposición;

" si Pablo no ha venido entonces no ha recibido la carta o no está interesado en el asunto"

Las proposiciones simples que componen son: 

                                             p: " Pablo ha venido" 

                                             q: " Pablo ha recibido la carta" 

                                              r: " Pablo está interesado en el asunto" 

                             Luego, la proposición compuesta se simboliza:  ~p →(~q v~r)

3.1 TABLAS DE VALORES DE VERDAD

El valor de verdad de una fórmula proposicional depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. Es decir. se debe analizar todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones que la componen, las cuales se dan en las primeras columnas. Por tanto, si en una fórmula proposicionar intervienen "n" proposiciones simples diferentes, entonces en la tabla de valores de verdad habrá 2ⁿ combinaciones diferentes. Así, para dos proposiciones se tiene 2²= 4   posibles conbinaciones de V y F Para tres, 2³=8 combinaciones, etc.

3.2  LEYES LÓGICA

 Son fórmulas proposicionales lógicamente equivalentes, estas son:

4. SIMPLIFICACION DE FORMULAS PROPOSICIONALES

Se trata de trasformar una fórmula proposicional en otra equivalente a ella pero lo más reducida posible. Para lo cual se debe usar oportuna y correctamente las leyes lógicas. Así mismo, deben especificarse en cada paso la ley o leyes que fueron utilizados.

5.     CIRCUITOS LOGICOS

Un circuito con un interruptor, puede estar "abierto" o "cerrado". Cuando el interruptor está abierto no permite el paso de corriente, mientras que cuando está cerrado sí lo permite. Si asociamos una proposición a cada interruptor, intuitivamente, vemos que en el álgebra de circuitos la V de tal proposición indica el interruptor cerrado y F el interruptor abierto. Así, el circuito lógico que representa a una proposición p es:

5.1 CIRCUITO EN SERIE Y PARALELO

Las operaciones proposicionales se pueden representar mediante circuitos lógicos con tantos intemrptores como proposiciones que la componen, combinados en serie o en paralelo según el conectivo lógico que une las proposiciones.

5.2 CIRCUITO EN SERIE; La conjunción de dos proposiciones (p Λ q) está representada por un circuito lógico en serie. Esto es:

5.3 CIRCUITO EN PARALELO; La disyunción de dos proposiciones (p v q) está representada por un circuito lógico en paralelo. Esto es:

p y q conectados en paralelo

5.4 ALGUNOS EJERCICIOS DE CIRCUITOS

EJEMPLO

6. INFERENCIA LÓGICA

Se debe entender por inferencia lógica a un razonamiento en el que a partir de un conjunto de proposiciones llamadas premisas se obtiene un resultado llamado conclusión. Un razonamiento es válido sí, y solamente sí, la conjunción de las premisas implica la conclusión, o la conclusión es consecuencia de las premisas. Es decir, si las premisas sr¡n todas verdaderas, entonces las conclusiones que se derivan de ellas lógicamente han de ser verdaderas. Sin embargo, si una o más de las premisas es falsa, Ia conjunción de todas las premisas es falsa; por tanto, la conclusión puede ser verdadera o falsa.

6.1 REGLAS DE INFERENCIA

Se le llaman reglas de inferencia a todo argumento universalmente correcto que representan métodos generales de razonamiento válido. 

Las siguientes son formas correctas de razonamiento:

En las deducciones o demostraciones formales se deberá justificar cada paso de inferencia haciendo referencia a la regla particular de inferencia que permite aquel paso. Se indica esta regla poniendo la abreviatura de su nombre a la derecha del paso de inferencia. Es también necesario indicar los números de las líneas en la inferencia de las que se ha deducido cada paso. En cada uno de los siguientes ejemplos se demostrará que la conclusión indicada es consecuencia lógica de las premisas dadas.

Ejemplos:

7. FUNCIONES PROPOSICIONALES Y SU CUANTIFICACION

7.1 FUNCIONES PROPOSICIONALES

Una función proposicional en una variable X es toda expresión en la que X representa al sujeto u objeto perteneciente a cierto conjunto. La cual se convierte en proposición para cada especificación de X. Es decir, si P(X) es una expresión que se convierte en proposición al sustituir la variable X por un objeto matemático, se dice que P es una función proposicional. Asimismo hay funciones proposicionales con más de una variable.

8. CUANTIFICADORES

A partir de funciones proposicionales se puede obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Para ello, introducimos los símbolos V y E(no encontre simbolos que simbolos universal y existencial pero es la A al reves y la E mirando hacia la izquierda), llamadós cuantificadores universal y existencial, respectivamente. Los cuales asociados a la variable x expresan lo siguiente: