ALGEBRA BOOLEANA

Sea B un conjunto con al menos dos elementos. Se denomina álgebra de Boole a una estructura algebraica que admite dos operaciones binarias Λ y V en B, y una operación unitaria: la complementación, que verifican los siguientes axiomas:

Además todo subconjunto de U admite un complemento que satisface el axioma .

EL PRINCIPIO DE DUALIDAD

Se denomina proposición dual correspondiente a una proposición del álgebra de Boole, a la que resulta de ella cambiando v por n y viceversa, así como 0 por 1 y viceversa. Por ejemplo, son duales las siguientes proposiciones

PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

  Para cualquier álgebra booleana (B, V, Λ), si a, b Є B, entonces

   

Ahora se definirá una importante álgebra de Boole que será la base en las siguientes secciones. Sea B = {0, 1}, y sean V=+ y Λ=. las operaciones binarias suma un producto lógico, respectivamente, definidas como sigue:

FUNCIONES BOOLEANAS

Sea B : {0, 1 } y sea Bⁿ como se definió anteriormente. Una función definida como ƒ : Bⁿ→ B es una función booleana, o de conmutación. Estas funciones pueden vérse como funciones de n variables, donde cada uno de ellas toma sólo valores 0 y 1. A estas variables se denominan variables booleanas.

PROPIEDADES

Las propiedades que satisfacen estas funciones y las variables booleanas son: 

Ahora consideremos el proceso de encontrar una función booleana a partir de una tabla de valores dada.

FORMAS NORMALES DISYUNTIVAS Y CONJUNTIVA

Para cualquier n Є N si ƒ es una función booleana sobre la n variable X1 X2,..., Xn, entonces se dice que:

i) Una representación de ƒ como una suma de productos es una forma normal disyuntiva (f.n.d.) de ƒ Por ejemplo:                             -  -       -     -          -

ƒ (x, y, z)= x y z + x y z + x y z

ii) Una representación de f como un producto de sumas es una forma normal conjuntiva (f.n.c.) de I Por ejemplo.

F (x.y.z) = (x +z) (x + y + z) (x + y + z)

REDES DE PUERTAS LÓGICAS

La importancia de las funciones booleanas o de conmutación, radica en su complementación por medio de puertas lógicas (dispositivos electrónicos).

FUNCIÓN AND

El símbolo del diapositiva que puede realizar el producto lógico de dos variables x e y, está representado.

FUNCIÓN OR

Realiza la suma lógica de dos variables de la diapositiva que indican en la siguiente figura.

 

INVERSO (NOT)

 Tiene solamente una entrada y una salida donde la salida es el complemento lógico de la entrada que está representado en la siguiente figura

FUNCIÓN OR- EXCLUSIVE

Se llama función operación binaria que se representa por el símbolo y se define.

FUNCIONES NAND Y NOR

Se llama función NAND al complemento de la función de dos variables y se escribe xy y se lee NOT x AND se muestra en la siguiente figuras

MAPA DE KARNAUGH

Para la simplificacion y minimización de funciones booleanas  con no mas de seis variables, usamos un metodo llamado mapa de karnaugh, desarrollado en 1953 por Maurice Karnaugh.

Primer caso:

podemos observar una funcion de dos variable, digamos x e y, en ese orden

FUNCIONES IMCOMPLEMENTAMENTE ESPECIFICADAS

En la práctica muchas veces se desea en su forma más simple una función F cuyo valor para algunos combinaciones de las variables es diferente para tales casos la salida no son específicas y se dice que la función F esta especificada de manera incompleta

Ejemplo:

Realizar la síntesis de una función F de cuatro variables x, y, z cuya tabla de valores corresponde a la siguiente tabla:

Por lo tanto, escribimos f: Z^ (0, 1, 3, 6, 9) + d (10, I 1, 12,13, 14, l5)

Donde d (10, ll, 12, 13, 14,15) denota los seis casos de indiferencia. Para buscar una expresión como suma minimal de productos para f, podemos usar cualquiera o todas estas condiciones de indiferencia en el proceso de simplificación.